Rozpoczął edukację muzyczną jako solista (alt) w chłopięcej szkole chóralnej klasztoru św. Floriana w Austrii, następnie studiował w Konserwatorium im. Brucknera w Linzu oraz na Uniwersytecie Muzyki i Sztuk Wykonawczych w Wiedniu pod kierunkiem Hilde Rössel-Majdan, Kurta Equiluza i Petera Schreiera. W 1991 został uhonorowany nagrodą za interpretacje utworów Mozarta przyznawaną młodym artystom austriackim przez Ministerstwo Edukacji i Sztuki.
Zasłynął interpretacją partii Ewangelisty w Pasjach Bacha, które wykonywał m.in.: na festiwalu w Salzburgu, na Festiwalu Wielkanocnym w Wiedniu, w Concertgebouw w Amsterdamie, Den Haag, Royal Festival Hall w Londynie, w Pradze, w Wiedeńskich Konzerthaus oraz Musikverein, w Tel Awiwie, Berlinie, Mediolanie, Lucernie, Paryżu, z dyrygentami takimi jak: R. Frühbeck de Burgos, F. Welser-Möst, R. Chailly, M. Gielen, oraz N. Harnoncourt.
Występował jako Klaus Narr w Gurrelieder Schönberga pod dyrekcją Claudio Abbado i Vladimira Fedoseyeva, Mönch w Drabinie Jakubowej Schönberga pod dyrekcją Michaela Gielena i Kenta Nagano, wykonywał też partię tenorową w IX Symfonii Beethovena pod dyrekcją Myung Whun Chunga i Semyona Bychkova.
O bogactwie repertuaru Kurta Azesbergera świadczy wielka liczba nagrań radiowych i płytowych: Das Buch mit sieben Siegeln Schmidta (pod dyr. Horsta Seina), Kantaty świeckie Bacha (harmonia mundi) oraz Krösus Keisera (obie pod René Jacobsem), Łazarz Schuberta pod Helmuthem Rillingiem (Hänssler Classic), Drabina Jakubowa Schönberga pod Eliahu Inbal (Denon), Apokalipsa według św. Jana Françaix’a (Wergo Mainz), Missae Breves Mozarta z Nikolausem Harnoncourtem (Teldec) oraz Msza koronacyjna pod Leopoldem Hagerem (Denon).
Artysta wykonuje także muzykę XX wieku (Podróż Zimowa Zendera, Serenada na tenor, waltornię i smyczki oraz Syn Marnotrawny Brittena, Prorok / Der Weg Der Verheissung Weilla), występuje również z recitalami.
Obecny sezon rozpoczął się realizacją Czarodziejskiego fletu Mozarta na festiwalu w Edynburgu z C. Abbado, w planie jest partia Egista w Elektrze Straussa w Teatro La Fenice w Wenecji.