Yuri Bashmet zgromadził w jednym zespole najlepszych wychowanków Państwowego Konserwatorium w Moskwie. Tam też, 19. maja 1992 r., w Wielkiej Sali Konserwatorium, odbył się pierwszy koncert nowej orkiestry, drugi zaś – już dwa dni później – w paryskim Pleyel. Zespół występował już w tak znanych salach koncertowych jak nowojorska Carnegie Hall, wiedeńska Musikverein, amsterdamskie Concertgebauw, tokijska Santory Hall, Filharmonia Berlińska, londyńskie Barbican Centre, kopenhaskie Tivoli, paryskie Cité de la Musique czy rzymska Academia Santa Cecilia. Moskiewscy soliści współpracowali z wybitnymi solistami; znaleźli się wśród nich S. Richter (fortepian), G. Kremer (skrzypce), M. Rostropowicz (wiolonczela), S. Chang (skrzypce), W. Tretiakow (skrzypce), M. Wengerow (skrzypce), W. Repin (skrzypce), S. Mintz (skrzypce), B. Hendrix (sopran), J. Galoway (flet), L. Harrel (wiolonczela), M. Brunello (wiolonczela), N. Gutman (wiolonczela), K. Tunemann (fagot), M. Portal (klarnet).
W roku 1994 zespół nagrał płytę kompaktową dla wytwórni EMI wraz z G. Kremerem i M. Rostropowicz. Nagranie dzieł Szostakowicza i Brahmsa (1998) zostało nominowane do nagrody Grammy; czasopismo „Strad” wybrało je nagraniem roku. Zespół brał udział w znanych festiwalach muzycznych, takich jak Festiwal Rostropowicza w Evian (Francja), festiwale muzyczne w Montreux i Verbier (Szwajcaria), Sydney Music Festival (Australia), Bath Music Festival i Promenade Concerts w londyńskiej Albert Hall (Anglia), Prestige de la Musique w paryskim Pleyel, Sony Classical w Théâtre des Champs-Elysées, Semaines Musicales w Tours (Francja), Grudniowe Noce, Moskwa (Rosja).
Zespół uczestniczył też w licznych programach telewizyjnych w Rosji i za granicą. Jego koncerty transmitowały lub nagrywały tak znane stacje radiowe jak BBC, Radio Bawarskie, Radio France czy NHK. Repertuar Solistów Moskiewskich jest bogaty i urozmaicony: oprócz muzyki klasycznej znajdują się w nim dzieła kompozytorów współczesnych i rzadko grywane utwory muzyki dawnej.