Ukończył Konserwatorium w Petersburgu (1965), gdzie studiował dyrygenturę operową i symfoniczną u prof. I. Musina. W roku 1963 dodatkowo poszerzał swe wiadomości u sławnego dyrygenta francuskiego I. Markevitcha. Od 1963 roku prowadzi Litewską Narodową Orkiestrę Symfoniczną.
Juozas Domarkas występuje gościnnie z liczącymi się orkiestrami w Rosji i innych krajach. Był członkiem jury IV i V Międzynarodowego Konkursu im. G. Fitelberga w Katowicach (1991, 1995) i I i II Międzynarodowego Konkursu im. S. Prokofiewa w Petersburgu (1993, 1996). Ma na swym koncie liczne nagrania płytowe z różnymi orkiestrami. Dyryguje muzyką współczesną; dedykowano mu wiele kompozycji; dokonał licznych premier i nagrań utworów współczesnych. Jego działalność w tej dziedzinie zapewniła mu uznanie krytyki w Czechach, Polsce, na Litwie, w Rosji i innych krajach.
Prowadzona przez Juozasa Domarkasa Litewska Narodowa Orkiestra Symfoniczna reprezentuje swój kraj na tournée zagranicznych. Jej występy w Niemczech, Anglii i Szkocji w październiku 1994 przyniosły uznanie krytyki dla wysokiego poziomu całej orkiestry i dla artyzmu jej dyrygenta.
Juozas Domarkas już od najmłodszych lat występuje w największych salach koncertowych Moskwy, Petersburga, Pragi, Bratysławy, Tallina i Lublany. Wraz ze swą orkiestrą odwiedził Niemcy, Hiszpanię, Wielką Brytanię, Francję i Japonię; grał w wiedeńskiej Musikverein, londyńskim Barbican Centre, na festiwalach takich jak Praska Wiosna czy w Szleswiku-Holsztynie. W roku 2001 J. Domarkas po raz kolejny poprowadził LNOS na tournée po Niemczech. W grudniu tego roku wystąpił w Filharmonii Kolońskiej z Mścisławem Rostropowiczem jako solistą.
Obecnie prof. Juozas Domarkas kieruje Wydziałem Dyrygentury Litewskiej Akademii Muzycznej. W roku 1998 otrzymał Order Giedymina I i Nagrodę Rządu Litewskiego za zasługi dla kultury litewskiej. W roku 2001 został też laureatem litewskiej Nagrody Państwowej.