Studiował na Akademiach Muzycznych w Stuttgarcie i Karlsruhe. Zdobywca licznych stypendiów oraz laureat Międzynarodowego Konkursu Wokalnego Francesco Viñas w Barcelonie.
W latach 2001-07 był członkiem zespołu Narodowego Teatru w Mannheim, tam zbudował swój repertuar na np. rolach: Marcello w Cyganerii, Wolfram w Tannhäuserze, Papageno w Czarodziejskim flecie, Guglielmo w Così fan tutte, Heerrufer w Lohengrinie oraz tytułowe role w Don Giovannim i Wozzecku. Latem 2007 roku bardzo udanie debiutował na festiwalu w Bayreuth jako Kothner w Śpiewakach norymberskich. Sezon 2007/08 Markus Eiche rozpoczął jako członek Staatsoper w Wiedniu, gdzie będzie śpiewał Księcia Almavivę w Weselu Figara (tournée po Chinach), Marcella (Cyganeria), Jeleckiego (Dama pikowa), Belcore’a (Napój miłosny), Alberta (Werther), Lescaut (Manon) oraz Fritza /Franka (Die Tote Stadt).
Występował w Teatro alla Scala, na Biennale w Monachium, w Nederlandse Opera Amsterdam, Grand Teatre del Liceu Barcelona, Komische Oper Berlin, Semperoper Dresden, w Operze Praskiej, Operze w Lucernie oraz w Stuttgarcie.
Współpracował z artystami takimi jak: Kent Nagano, Bertrand de Billy, Kirill Petrenko, Zoltan Pesko, Gustav Kuhn, Ingo Metzmacher, Harry Bicket, Carlos Spierer, Christophe Rousset, Stefan Asbury, Christoph von Dohnányi, Helmuth Rilling, Marin Alsop, Sebastian Weigle, Gustav Kuhn, Adam Fischer oraz Enrico Dovico.
Markus Eiche jest wysoko cenionym śpiewakiem koncertowym, blisko współpracuje z Helmuthem Rillingiem. Nagrał pieśni Schuberta oraz Carmina burana Orffa (Naxos).